Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD=$\frac{1}{2}$AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若MD=8，BC=12，连接PC，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△BOD～△BAC，然后依据相似三角形的性质进行证明即可；
（2）连接OC，先先切线的性质得带∠OBM=90°，然后依据平行线的性质和等腰三家巷的性质证明∠BOM=∠COM，然后利用SAS证明△OCM≌△OBM，由全等三角形的性质可得到∠OCM=∠OBM=90°；
（3）根据圆周角定理和平行线的性质得到∠ACB=∠APB=90°，根据垂径定理得到∠OCD=∠CMD，过点A作AH⊥PC于点H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC∥OM，
∴△BOD～△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
∴OD=$\frac{1}{2}$AC．
（2）连接OC，∵AC∥OM，
∴∠OAC=∠BOM，∠ACO=∠COM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO
∴∠BOM=∠COM，
在∴△OCM与△OBM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠BOM=∠COM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△OBM；
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM=∠OBM=90°，
∴MC是⊙O的切线；
（3）∵AB是⊙O的直径，AC∥OM，
∴∠ACB=∠APB=90°，OD⊥BC，
∴CD=BD=6，
∵∠OCD+∠MCD=∠CMD+∠MCD=90°，
∴∠OCD=∠CMD，
∵∠OCM=∠CDO=∠CDM=90°，
∴△CDO∽△MDC，
∴CD²=OD•DM，
∴OD=$\frac{9}{2}$，
∴OC=$\frac{15}{2}$，
∴AB=15，
∴PA=PB=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
过点A作AH⊥PC于点H，
∴AH=CH=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，PH=6$\sqrt{2}$，
∴PC=PH+CH=$\frac{21\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．