Question

3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
    ②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AEF≌△DEC得出AF=DC，再根据已知条件即可证明．
（2）①当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明∠ADB=90°即可．
②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明AD=BD即可．

解答 （1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠ECD}\\{∠AEF=∠DEC}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=DC．
（2）①当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF=BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：：∵AF=BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴四边形AFBD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．