Question

8．观察思考
有一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形，如图1所示，将纸片△AC₂D₂沿D₂B的方向平移（点A，D₂，D₁，B始终在同一条直线上），当点D₂与点B重合时，停止平移．
解决问题
在平移过程中（如图2所示），设C₂D₂与BC₂交于点E，与C₂D₂交于点F，试判断四边形FD₂D₁E可能是菱形吗？请求出平移的距离；如果不可能，请说明理由；
拓展延伸
现又有一张平行四边形纸片ABCD，AB=10cm，AD=6cm，BD=8cm，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB₁D₁和△AB₂D₂两个三角形，如图3所示，将△AB₂D₂沿AB₁方向平移，在平移过程中点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行，当点A于点B₂重合时，停止平移，在平移过程中（如图4所示），AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F，四边形B₂FD₂E是什么四边形？判断并说明理由．
迁移应用
在图4中，四边形B₂FD₂E的面积有可能是13cm²吗？判断并说明理由．

Answer 1

分析 解决问题，根据题意证明四边形FD₂D₁E是平行四边形，根据菱形的判定得到D₂F=D₂D₁，设AD₂=xcm，根据菱形的性质列出方程，解方程即可；
拓展延伸，根据平行四边形、矩形、正方形的判定定理解答即可；
拓展迁移，根据题意列出二次函数解析式，求出二次函数的最大值，即可判断．

解答 解：解决问题 可能；平移距离为2.5cm．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
由题图1的初始位置，得
C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁=5，
∴∠AC₁D₁=∠A，
∴在平移到题图2时为∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F．
同理可得BD₁=D₁E．
∵AD₂=BD₁，
∴D₂F=D₁E．
∵D₂F∥D₁E，
∴四边形FD₂D₁E是平行四边形．
当D₂F=D₂D₁时，平行四边形FD₂D₁E才可为菱形．
设AD₂=xcm，
∴D₂F=xcm，D₂D₁=（5-x）cm，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴当平移的距离为2.5cm时，四边形FD₂D₁E是菱形．
拓展延伸 矩形或正方形．
①∵AD₁∥B₂C，D₁B₁∥D₂B₂，
∴四边形B₂FD₁E是平行四边形．
∵在△AB₁D₁中，AB₁=10cm，AD₁=6cm，B₁D₁=8cm，
∴△AB₁D₁是直角三角形，
∴∠AD₁B₁=90°，
∴当B₂E≠B₂F时，四边形B₂FD₁E是矩形．
②由①可知，当B₂E=B₂F时，四边形B₂FD₁E是正方形．
拓展迁移 不可能；
理由：设平移距离B₂B₁为acm，四边形B₂FD₁E的面积为ycm²．
∵B₂B₁=a，∴AB₂=10-a．
由（2）知∠B₂FD₁=90°，
∴△B₁B₂F是直角三角形．
∵sinB₁=$\frac{3}{5}$，
∴B₂F=B₂B₁•sinB₁=$\frac{3}{5}$a，
同理可得B₂E=8-$\frac{4}{5}$a，
∴y=B₂F•B₂E=$\frac{3}{5}$a•（8-$\frac{4}{5}$a）=-$\frac{12}{25}$a²+$\frac{24}{5}$a，
∴y=-$\frac{12}{25}$（a-5）²+12（0＜a＜10），
∴当a=5时，四边形B₂FD₁E的面积最大，为12cm²，
∴四边形B₂FD₁E的面积不可能是13cm²．

点评 本题考查的是平移的性质、菱形的判定和性质以及锐角三角函数的定义的应用和二次函数的性质的应用，掌握平移的性质、二次函数的最值的确定方法、锐角三角函数的概念是解题的关键．