Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，D，F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=$\frac{1}{2}$，求∠FEC．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O的切线；
（2）由sinB=$\frac{1}{2}$，得到∠B=30°，根据三角形的内角和得到∠BOE=60°，根据等腰三角形的性质得到∠OFE=∠OEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=$\frac{1}{2}$∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵sinB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BOE=60°，
∵OF=OE，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠BOE=∠OFE+∠OEF=60°，
∴∠OEF=30°，
∴∠FEC=60°．

点评 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．