Question

4．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是$\widehat{AB}$的中点，若扇形的半径为3，则图中阴影部分的面积等于$\frac{9π}{2}$-9．

Answer 1

分析 根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以3为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．

解答 解：两扇形的面积和为：$\frac{180π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9π}{2}$，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是$\widehat{AB}$的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCG=∠NCH}\\{CM=CN}\\{∠CMG=∠CNB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是3的正方形面积，
∴空白区域的面积为：$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=$\frac{9π}{2}$-9．
故答案为：$\frac{9π}{2}$-9．

点评 此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键．