Question

3．如图，在Rt△ABC中，以直角边AC为直径作⊙O与斜边AB交于点D，点E在BC边上，BE=CE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）延长ED与CA的延长线交于点F，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，求sin∠B．

Answer 1

分析 （1）连接OD，CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODC=∠OCD，∠EDC=∠ECD，等量代换得到∠EDO=90°，于是得到结论；
（2）根据已知条件设CE=3a，CF=4a，根据勾股定理得到EF=5a，根据切割线定理得到AF=a，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$a，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵BE=CE．
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴设CE=3a，CF=4a，
∵∠ECF=90°，
∴EF=5a，
∵DE=CE=3a，
∴BC=6a，
∴DF=2a，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF²=AF•CF，
∴AF=a，
∴AC=3a，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$a，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，切割线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．