Question

18．如图，平面上有A、B、C三点．
（1）经过A、B、C三点画⊙O；（保留画图痕迹，不写画法）
（2）如果∠OBA=45°，∠OBC=60°，AB=4cm，求⊙O的半径和BC的长．

Answer 1

分析 （1）分别作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）连结OB，AB的垂直平分线交AB于D，BC的垂直平分线交BC于E，则DB=$\frac{1}{2}$AB=2，BE=$\frac{1}{2}$BC，先在Rt△ODB中，由∠OBD=45°可得OB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，然后在Rt△OBE中利用∠OBC的余弦可求出BE，从而得到BC的长．

解答 解：（1）如图；
（2）连结OB，AB的垂直平分线交AB于D，BC的垂直平分线交BC于E，
∵OD垂直平分AB，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ODB中，∵∠OBD=45°，
∴OB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵OE垂直平分BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△OBE中，∵∠OBC=60°，
∴BE=OBcos60°=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2BE=2$\sqrt{2}$，
即⊙O的半径为2$\sqrt{2}$和BC的长为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆与外心．