Question

如图，平面直角坐标系中，正△OAB的顶点A的坐标为（2

3

，0），点B落在第一象限内，其外接⊙M与y轴交于点C，点P为弧CAO上一动点．
（1）求点C的坐标和圆M的直径；
（2）连结AP，CP，求四边形OAPC的最大面积；
（3）连结OP，若△COP为等腰三角形，求点P坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,等边三角形的性质,勾股定理,菱形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,特殊角的三角函数值

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）连接AC，如图1，在Rt△AOC中运用勾股定理就可求出OC、AC的长，从而解决问题．
（2）连接AC，PM，如图2．显然，当PM⊥AC时，四边形OAPC的面积最大，只需求出此时△AOC及△APC的面积，就可解决问题．
（3）当△COP为等腰三角形时，由于腰不确定，因此可三种情况（①CP=CO，②OP=OC，③PO=PC）讨论．①若CO=CP，过点M作MH⊥OC于H，连接MO、MP，如图3①，可求出点M的坐标，并可证到四边形OCPM是菱形，从而有MP∥OC，就可求出点P的坐标；②若OP=OC，连接MC、MP，如图3②，同理可求出对应点P的坐标；③若PO=PC，过点P作PH⊥OC于H，连接OM，如图3③，根据等腰三角形的性质可得OH=CH=1，由线段垂直平分线的判定可得点M必在PH上，只需求出PH的长，就可得到点P的坐标．

解答：解：（1）连接AC，如图1，

∵△OAB是等边三角形，A的坐标为（2

3

，0），
∴AB=OB=OA=2

3

，∠AOB=∠OBA=∠BAO=60°．
在Rt△AOC中，
∵∠OCA=∠OBA=60°，OA=2

3

，
∴tan∠OCA=

OA

OC

=

2 3

OC

=

3

．
∴OC=2．
∴AC=

OC2+OA2

=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙M的直径．
∴点C的坐标为（0，2），圆M的直径为4．

（2）连接AC，PM，如图2．

当PM⊥AC时，△PAC的面积最大，此时四边形OAPC的面积也最大．
∴四边形OAPC的最大面积为

1

2

×2

3

×2+

1

2

×4×2=2

3

+4．

（3）①若CO=CP，
过点M作MH⊥OC于H，连接MO、MP，如图3①．

则有OH=CH=

1

2

OC=1．
在Rt△OHM中，
HM=

OM2-OH2

=

3

．
∴点M的坐标为（

3

，1）．
∵MP=MO=OC=CP=2，
∴四边形OCPM是菱形．
∴MP∥OC．
∴点P的坐标为（

3

，3）．
②若OP=OC，
连接MC、MP，如图3②．

同理可得：点P的坐标为（

3

，-1）．
③若PO=PC，
过点P作PH⊥OC于H，连接OM，如图3③．

∵PO=PC，PH⊥OC，
∴OH=CH=1．
∴PH垂直平分OC．
∴圆心M必在PH上．
∴PH=PM+MH=2+

3

．
∴点P的坐标为（2+

3

，1）．
综上所述：当△COP为等腰三角形时，点P坐标为（

3

，3）、（

3

，-1）、（2+

3

，1）．

点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．