Question

5．如图，抛物线y=-$\frac{1}{8}{x^2}+\frac{1}{2}$x+4与y轴交于点A、与x轴分别交于B、C两点．
（1）求A、B两点坐标；
（2）将Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，求点E的坐标；
（3）求出第一象限内的抛物线上与直线AE距离最远的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0可求得点A、B的坐标；
（2）由点A、B的坐标可求得OA、OB的长，然后由旋转的性质可得到点E的坐标；
（3）延长AE交抛物线与点M，过点P作PN⊥x轴，交直线AE与点N，过点P作PW⊥AE垂足为W．先求得直线AE的解析式，然后求得点M的坐标，设点P（t，-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4），则N（t，-t+4），可求得PN=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{3}{2}$t．从而得到△APM的面积与t的函数关系式，利用配方法可求得△APM的最大值，以及此时点P的坐标．

解答 解：（1）∵当x=0时，y=4，
∴A（0，4）．
∵当y=0时，-$\frac{1}{8}{x^2}+\frac{1}{2}$x+4=0，
∴x₁=-4，x₂=8．
∴B（-4，0）．
（2）由（1）得OA=OB=4，
∵将△ABO逆时针绕A旋转90°得到△ADE，
∴∠ADE=90°，DE=AD=4．
∴点D（4，4）．
∴E（4，0）．
（3）如图所示：延长AE交抛物线与点M，过点P作PN⊥x轴，交直线AE与点N，过点P作PW⊥AE垂足为W．

设直线AE的解析式为y=kx+b．
∵将A（0，4），B（，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-x+4．
∵将y=-x+4与y=-$\frac{1}{8}{x^2}+\frac{1}{2}$x+4联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=12}\\{{y}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
∴M（12，-8）．
设点P（t，-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4），则N（t，-t+4），PN=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4-（-t+4）=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{3}{2}$t．
S_△APM=$\frac{1}{2}$PN•x_M=$\frac{1}{2}$×12×（-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{3}{2}$t）=-$\frac{3}{4}$t²+9t=-$\frac{3}{4}$（t-6）²+27．
∴当t=6时，△APM的面积最大．
∴当t=6时，y=-$\frac{1}{8}$×6²+$\frac{1}{2}$×6+4=$\frac{5}{2}$．
∴P（6，$\frac{5}{2}$）．
∵当△APM面积最大时，PW最大，
∴直线AE最远的点的坐标为P（6，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了函数解析式与点的坐标的关系、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点、配方法求二次函数的最值、三角形的面积公式、旋转的性质，列出三角形APM的面积与点P的横坐标t之间的函数关系式是解题的关键．