Question

问题1：若方程组

4x+y=k+1 x+4y=3

的解满足条件0＜x+y＜1，求k的取值范围．
（1）小华在解本题时发现：由于方程组中x、y的系数恰好都分别为1和4，所以直接将方程组①、②相加，可得

 

，即x+y=

 

，由条件0＜x+y＜1得：

 

．从而求得k的取值范围：

 

．这种不需求x、y，而直接求x+y的方法数学中称为整体代换．
（2）问题2：若方程组

2x+5y=k+1 3x+5y=3

的解满足条件0＜x+y＜1，求k的取值范围．小华在解此题时发现由于x、y的系数不对等，整体代换不可行，但聪明的小华并没有放弃，通过探索发现通过给方程①、②分别乘以不同的数，仍然可以达到整体代换的目的：如：方程①×（-2）得：

 

③；方程②×3得：

 

④；将方程③、④相加得：

 

；所以x+y=

 

．
（3）若问题变为“若方程组

2x+5y=k+1 3x+5y=3

的解满足条件0＜2x+y＜1，求k的取值范围”．
探索：问应如何确定两方程的变形，才能达到不需求x、y的值，而确定2x+y的值．

Answer 1

考点：二元一次方程组的解,解一元一次不等式组

专题：阅读型

分析：（1）（2）直接按照步骤填出答案即可；
（3）方程①×（-7）+方程②×8得出关于2x+y的式子，进一步求得答案即可．

解答：解：（1）

4x+y=k+1 x+4y=3

①、②相加，可得5x+5y=k+4
即x+y=

k+4

5

由条件0＜x+y＜1得：
0＜

k+4

5

＜1
解得-4＜k＜1；
（2）

2x+5y=k+1 3x+5y=3

方程①×（-2）得：-4x-10y=-2k-2③
方程②×3得：9x+15y=9④
将方程③、④相加得：5x+5y=-2k+7
所以x+y=

-2k+7

5

．
（3）

2x+5y=k+1 3x+5y=3

方程①×（-7）得：-14x-35y=-7k-7③
方程②×8得：24x+40y=24④
将方程③、④相加得：10x+5y=-7k+17
所以2x+y=

-7k+17

5

0＜2x+y＜1
得0＜

-7k+17

5

＜1
解得

12

7

＜k＜

17

7

．

点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，注意整体思想的渗透．