Question

17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，E是线段BA延长线上一点，且AE=$\frac{1}{3}$AB，连接CE，在线段CE上取一点F，使得CF=$\frac{5}{2}$，连接FD，将△CFD沿FD折叠至△C₁FD，连接C₁B，则△C₁BD的面积为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 如图建立如图坐标系，连接CC₁，DF的延长线交CC₁于M，作FH⊥BC于H．想办法求出点C₁的坐标，根据S_△BDC=${S}_{△BC{C}_{1}}$+${S}_{△CD{C}_{1}}$-S_△BCD计算即可．

解答 解：如图建立如图坐标系，连接CC₁，DF的延长线交CC₁于M，作FH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=$\frac{AB}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴BE=$\frac{20}{3}$，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
∵FH∥BE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{BC}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{25}{3}}$=$\frac{FH}{\frac{20}{3}}$=$\frac{CH}{5}$，
∴FH=2，CH=$\frac{3}{2}$，
∴BH=BC-CH=$\frac{7}{2}$，
∴F（$\frac{7}{2}$，2），∵D（5，5），
∴直线DF的解析式为y=2x-5，
∵CC₁⊥DF，
∴直线CC₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-5}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（3，1），
∵MC=MC₁，
∴C₁（1，2），
∴S_△BDC=${S}_{△BC{C}_{1}}$+${S}_{△CD{C}_{1}}$-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5×2+$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{5}{2}$，
故答案为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、翻折变换、坐标与图形、一次函数的应用、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．