Question

7．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若EB=2，DF=3，∠EAF=60°，则△AEF的面积等于$\frac{19\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 连接AC，由菱形ABCD中，∠D=60°，根据菱形的性质，易得△ADC是等边三角形，证明△ADF≌△ACE，可得到：S_AECF=S_△ADC，EC=DF和菱形的边长，求出S△_ACD、S_△ECF，根据面积间关系即可求出△AEF的面积．

解答 证明：如图，连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠D=60°，AD=DC，
∴△ADC是等边三角形，
∵AC是菱形的对角线，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB=60°，
∵∠FAC+∠EAC=∠FAC+∠DAF=60°，
∴∠EAC=∠DAF，
在△ADF和△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ACB}\\{AD=AC}\\{∠DAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACE（ASA），
∴DF=CE=3，AE=AF，BC=BE+CE=AB=5．
∴S_{四边形AECF}=S_△ACD
=$\frac{1}{2}$×5×5×sin60°
=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，
如图，过F作FG⊥BC于G，则
S_△ECF=$\frac{1}{2}$CE•CF•sin∠GCF
=$\frac{1}{2}$CE•CF•sin60°
=$\frac{1}{2}$•6•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴S_△AEF=S_{四边形AECF}-S_△ECF
=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
=$\frac{19}{4}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{19}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及及三角形的面积的计算．准确作出辅助线构造全等三角形，利用图形间的面积关系是解决本题的关键．