Question

7．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形，并说明理由；
（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF及折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）由EF垂直并平分BD  BD与EF交于点O，四边形ABCD是矩形，易证得△DOE≌△BOF，继而证得DE=BE=BF=DF，则可得四边形BFDE是菱形；
（2）首先设DF=x，则FC=16-x，在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求得菱形的边长，再过点E作EG⊥BC于G，即可求得答案．

解答 解：（1）四边形BFDE是菱形．
由折叠可知：EF垂直并平分BD  BD与EF交于点O，
则BE=DE  BF=DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{OB=OD}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
∴DE=BE=BF=DF，
∴四为形BFDE为菱形；

（2）设DF=x，则FC=16-x，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：FC²+DC²=DF²，
即8²+（16-x）²=x²，
解得：x=10，
即DF的长为10，
过点E作EG⊥BC于G，则GF=4，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系，掌握方程思想的应用是解此题的关键．