Question

12．如图，已知抛物线y=x²+bx+c交x轴于点A（-1，0）B（2，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点H，直线y=kx（k＞0）交抛物线于点M，N（点M在N的右侧），交抛物线的对称轴于点D．
（1）求b和c的值；
（2）如图（1），若将抛物线y=x²+bx+c沿y轴方向向上平移$\frac{5}{4}$个单位，求证：所得新抛物线图象与直线BC无交点；
（3）如图（2），若MN∥BC．
①连接CD、BM，判断四边形CDMB是否为平行四边形，说明理由；
②以点D为圆心，DH长为半径画圆⊙D，点P为抛物线上一点，Q点在⊙D上，试求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入物线y=x²+bx+c中，得到一个方程组，求解即可；
（2）根据题意得出新的解析式，再设直线BC为y=kx+b，求出直线BC的解析式，由此联立方程组，得到一个一元二次方程，再求出△的值，即可得出答案；
（3）根据两点间距离公式，利用配方法转化为二次函数最值问题即可解决．

解答 解：（1）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
则b=-1，c=-2．

（2）∵抛物线为y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，沿y轴方向向上平移$\frac{5}{4}$个单位，
∴新抛物线为y=x²-x-$\frac{3}{4}$，
设直线BC为y=kx+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直线BC为：y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0，
∵△=4-5=-1＜0，
∴方程组无解，抛物线与直线BC没有交点．

（3）①∵MN∥BC，
∴k=1，OM＞OB，
∴MN≠BC，
∴四边形CDMB不是平行四边形．
②设点P（m，m²-m-2），
∵点D坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴PD²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（m²-m-$\frac{5}{2}$）²=（m-$\frac{1}{2}$）²+[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{4}$]²=（m-$\frac{1}{2}$）⁴-$\frac{9}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{121}{16}$=[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]²+$\frac{10}{4}$，
∴PD²的最小值=$\frac{10}{4}$，
∴PD的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DQ=$\frac{1}{2}$，
∴线段PQ的最小值=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法确定一次函数、二次函数解析式，解题的关键是利用配方法，转化为二次函数的最值问题，有一定的代数化简技巧，属于中考压轴题．