Question

16．已知直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C的坐标为（a，b）．
（1）若点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3），则点C的坐标为（0，3）．
（2）设抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，直线y=ax+b与y轴交于点E，点F的坐标为（1，0），且DE∥CF，点C在直线y=-4x上．
①求抛物线的解析式．
②点P为直线AB上方的抛物线上一点，当S_△PAB=$\frac{3}{2}$S_△COE时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入y=ax+b即可解决问题．
（2）①根据两直线平行，k相等列出方程，用方程组解决问题．
②根据S_△PAB=$\frac{3}{2}$S_△COE，得到S_△PAH+S_△PHB-S_△AHB=$\frac{3}{2}$S_△COE，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）把A（0，0），B（1，3）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（3，0）．
（2）①∵DE∥CF，
∴K_DE=K_CB，
∵E（0，b），D（-$\frac{b}{2a}$，0），F（1，0），C（a，b），
∴$\frac{a-1}{b}$=$\frac{\frac{b}{2a}}{b}$    ①，
又∵点C在直线y=-4x上，
∴b=-4a       ②，
由①②解得a=-1，b=4，
∴抛物线为y=-x²+4x．
②如图，作AH⊥OB于H，连接PH．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点A（1，3），点B（4，0）．点E（0，4），设点P（m，-m²+4m）．
由题意S_△PAB=$\frac{3}{2}$S_△COE，
∴S_△PAH+S_△PHB-S_△AHB=$\frac{3}{2}$S_△COE，
∴$\frac{1}{2}$•3•（m-1）+$\frac{1}{2}$•3•（-m²+4m）-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2}$•4•1，
整理得到m²-5m+5=0，
∴m=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
∴点P坐标（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴交点、一次函数、二次函数等知识，解题的关键是把问题转化为解方程组，体现了转化的数学思想，记住两直线平行k相等，题目有点难度，属于中考压轴题．