Question

18．在矩形ABCD中，点E在BC上，以AE为边作?AEFG，使点D在AE的对边FG上．

（1）填空：如图1，连接DE，则△ADE的面积=$\frac{1}{2}$四边形AEFG的面积；
并直接写出?AEFG的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的数量关系；
（2）如图2，EF与CD交于点P，连接PA．
①若∠F=90°，证明：A、E、P、D四点在同一个圆上；并直接说明点D、F、C、E是否在同一个圆上；
（3）如图3，在①的条件下，若AB＜BC，AG=AE，且D是FG的中点，EF交CD于点P，试判断以FG为直径的圆与直线PA的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作出AE边上的高，分别得出长方形和平行四边形的面积表达式，可得其结果相同，从而说明平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等．
（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根据圆内接四边形的判定定理：“如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆”解答．
（3）过D作DH⊥AP于H，根据∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根据D是FG的中点可求出其相似比为2，再由△ADG与△AEB相似可得其对应边成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根据相似三角形的性质可得AD是∠GAH的平分线，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．

解答 解：（1）如图1，

过D点作DP垂直AE于点P；
∵S_ABCD=AB×AD，
S_AEFG=AE×DP=$\frac{AB}{cos∠BAE}$×（AD×cos∠ADP），
∠BAE=∠ADP，
∴S_AEFG=AB×AD，
∴S_AEFG=S_ABCD．
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×DO，S_{四边形AEFG}=AE×DP，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_{四边形AEFG}
（2）如图2，

因为平行四边形AEFG是矩形，四边形ABCD也是矩形；
所以∠ADC=∠FEA=90°，
则∠ADC+∠FEA=180°，
所以A、E、P、D四点在同一个圆上．

（3）相切．
如图3，

过D作DH⊥AP于H；
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴△ADG∽△AEB，
∵D是FG的中点，
∴$\frac{AG}{DF}=\frac{GD}{PF}=\frac{AD}{DP}$=2，
在△ADG与△APD中，
∵DF=GD，
∴$\frac{AG}{GD}=\frac{AD}{DP}$=2，
∵∠ADP=∠AGD=90°，
∴△ADG∽△AEB∽△APD，
∴∠1=∠DAP，即AD是∠GAH的平分线，
∴DG=DH=DF，
∵DP=DP，∠DHP=∠DFP=90°，
∴以FG为直径的圆与直线PA相切．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了将四边形面积的求法和三角函数相结合．圆内接四边形的判定定理，只要判断出一组对角互补即可．相似三角形的判定定理、角平分形的判定定理及性质，解答此题的关键是作出AE边上的高，作出辅助线．