Question

如图1，△ABC中，M是BC边上中点，E、F分别在AB、AC上，且BE=CF，连接EF，点N是线段EF的中点，连接MN并延长交AB于点P．
（1）求证：∠BAC=2∠BPM；
（2）如图2，当∠A=60°，点F是AC边中点时，探究线段PM与BE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠KMN=∠KNM（设为α）；证明∠QPA=∠BPM=α，∠A=∠Q+∠QPA=2α，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明MN=2MK=

3

λ；证明BE=2λ；证明PM=2MN，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，连接BF，取BF的中点K，连接KN、KM；延长MP、CA，交于点Q；
∵M、N分别是BC、EF的中点，
∴MK、NK分别是△BCF、△BEF的中位线，
∴BE=2NK，CF=2MK；而BE=CF，
∴MK=NK，∠KMN=∠KNM（设为α）；
∵KM∥AC，KN∥AB，
∴∠Q=∠KMN=α，∠KNM=∠BPM=α；
∴∠QPA=∠BPM=α，∠A=∠Q+∠QPA=2α，
∴∠BAC=2∠BPM．
（2）PM=

3

BE；
如图2，连接MF、EC，交于点Q；连接QN；
过点Q作QK⊥MN于点K；
由（1）知：∠A=2∠BPM=60°，
∴∠BPM=30°；
∵M、F分别是BC、AC的中点，
∴MF∥AB，EQ=CQ；而EN=FN，
∴QN∥FC，FC=2QN；
BE∥MQ，BE=2QM；而BE=CF，
∴QM=QN（设为λ），∠QNM=∠QMN=∠BPM=30°；
∵QK⊥MN，且∠QNM=30°，
∴MK=NK=

3

2

λ，MN=2MK=

3

λ；
∵MF∥PB，
∴

MN

PN

=

EN

FN

，而EN=FN，
∴MN=PN，PM=2MN=2

3

λ；而BE=2MQ=2λ，
∴PM=

3

BE．

点评：该题主要考查了三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．