Question

1．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=4，∠ACB=90°，MA⊥AB，动点P、Q分别从A，C同时出发，沿射线AM、AC方向运动，Q的运动速度为1单位/秒，P点运动速度是$\sqrt{2}$单位/秒，设它们运动时间为t（s），线段PB交射线AC于D点，
（1）当t=1时，求证：△PBQ是等腰直角三角形．
（2）过D点作DE⊥BD交BQ延长线于E点，问△ABE的面积是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）直接写出当t=4-2$\sqrt{2}$时，PE∥DQ．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PN⊥AQ垂足为N，只要证明△PQN≌△QBC即可解决问题．
（2）△ABE的面积是定值，如图2中，作DN⊥AB于N，EK⊥ND于K，EG⊥AB于G，连接AE，只要证明△KDE≌△NBD，即可得到EG=KN=AB，由此即可解决问题．
（3）如图3中，连接PE，作PN⊥AC于N，首先证明BQ=BD，再根据PN∥BC得$\frac{BC}{PN}$=$\frac{CD}{DN}$，列出方程即可．

解答 （1）证明：如图1中，作PN⊥AQ垂足为N．
∵AC=CB，∠ACB=90°，MA⊥AB
∴∠CAB=∠CBA=∠MAQ=45°，
在RT△PNA中，∵AP=$\sqrt{2}$t，∠PAN=45°，
∴PN=AN=t=CQ，AC=NQ=BC，
在△PQN和△QBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PN=CQ}\\{∠PNQ=∠BCQ}\\{QN=BC}\end{array}\right.$，
∴△PQN≌△QBC，
∴PQ=QB，∠PQN=∠QBC，
∵∠QBC+∠CQB=90°，
∴∠PQN+∠BQC=90°，
∴∠PQB=90°，
∴△PQB是等腰直角三角形．
（2）△ABE的面积是定值，理由如下：
如图2中，作DN⊥AB于N，EK⊥ND于K，EG⊥AB于G，连接AE，
∵∠EDB=90°，△PQB是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠DEB=45°，
∴DE=DB，
∵∠KDE+∠BDN=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠EDK=∠DBN，
在△EDK和△DBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠K=∠DNB}\\{∠KDE=∠DBN}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△KDE≌△NBD，
∴DK=BN，
∵∠DNA=90°，∠DAN=45°，
∴∠DAN=∠ADN=45°，
∴∠NAD=∠NDA=45°，
∴DN=AN，
∴KN=KD+DN=BN+AN=AB，
∵∠EKN=∠KNG=∠EGN=90°，
∴四边形KNGE是矩形，
∴EG=EN=AB，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•AB•EG=$\frac{1}{2}$•AB²=8．
（3）如图3中，连接PE，作PN⊥AC于N
∵PE∥AQ，
∴∠PED=∠EDQ，
∵∠DEQ=∠DPQ=45°，
∴P、D、Q、E四点共圆，
∴∠EPQ=∠EDQ，
∴∠DEQ=∠QPE，
∴∠BEP=∠BPE，
∵∠BQD=∠BEP，∠BDQ=∠BPE，
∴∠BQD=∠BDQ，
∴BD=BQ，
∵BC⊥AC，
∴CD=CQ=t，
由（1）可知，PN=AN=CQ=t，
∵AB=4，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴DN=2$\sqrt{2}$-2t，
∵PN∥BC，
∴△DPN∽△DBC，
∴$\frac{BC}{PN}$=$\frac{CD}{DN}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{t}$=$\frac{t}{2\sqrt{2}-2t}$，
∴t²+4$\sqrt{2}$t-8=0，
∴t=4-2$\sqrt{2}$或-4-2$\sqrt{2}$舍弃．
∴t=（4-2$\sqrt{2}$）秒时，PE∥DQ．
故答案为4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形或特殊四边形，学会应用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．