Question

6．矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=4，如图，有一个边长为4的等边三角形OPQ，O点与A点重合，PQ在直线BC上，△OPQ沿着BC方向以每秒1个单位长度的速度平移，当O点平移到D点时运动停止，设平移时间为t秒，求两个图形重合部分的面积S关于t的函数关系式，并注明t的取值范围．

Answer 1

分析 当0≤t≤2时，如图1中作OM⊥BC于M，根据S=S_△OPQ-S_△PBN即可计算，当2＜t≤4时，如图2中，根据S=S_△POQ-S_△CNQ即可计算．

解答 解：当0≤t≤2时，如图1中，作OM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABM=∠OMB=90°，
∴四边形ABMO矩形，
∴AO=BM=t，
在RT△PNB中，∵∠PBN=90°，PB=2-t，∠B=30°，
∴BN=$\sqrt{3}$（2-t），
S=S_△OPQ-S_△PBN=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2-t）（$\sqrt{3}$（2-t）=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，
当2＜t≤4时，如图2中，
S=S_△POQ-S_△CNQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，
综上所述s=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，（0≤t≤4）．

点评 本题考查动点问题、矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考常考题型．