Question

7．如图四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD，则BD=2$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，DH⊥MA于H，先证明△ADH≌△CDN，易证四边形MNDH是正方形，设AH=NC=x，根据MN=MH列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，DH⊥MA于H．
∵∠H=∠HMN=∠DNM=∠DNM=90°，
∴四边形MNDH是矩形，
∴∠NDH=90°，
∵∠NDH=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠CDN，
在△ADH和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠DNC}\\{∠ADH=∠CDN}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDN，
∴DH=DN，
∴四边形MNDH是正方形，
∴MN=MH，设AH=NC=x，
在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=4$\sqrt{2}$，∠ABM=45°，
∴BM=AM=4，CM=BC-BM=12-4=8，
∴4+x=8-x
∴x=2，
∴AH=NC=2，MN=DN=6，
在RT△NBD中，∵∠BND=90°，BN=10，DN=6，
∴BD=$\sqrt{B{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$．
故答案为2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．