Question

12．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3$\sqrt{5}$，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（　　）

• A． $\frac{2}{5}＜a＜\frac{13}{20}$
• B． $\frac{2}{5}＜a＜\frac{11}{20}$
• C． $\frac{11}{20}＜a＜\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{5}＜a＜\frac{13}{20}$

Answer 1

分析 先判断出△AEM∽EDN得出ME，EN，AB，再过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．

解答 解：
如图，

过点E作EM⊥y轴于M，交BC延长线于N，
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AEM∽EDN，
∴$\frac{AM}{EN}=\frac{EM}{DN}$①，
设AM=BN=m，ME=n，
∴EN=MN-ME=3$\sqrt{5}$-n，DN=BN-BD=m-3
代入①得，$\frac{m}{3\sqrt{5}-n}=\frac{n}{m-3}$②，
根据勾股定理得，m²+n²=（3$\sqrt{5}$）²③，
由②③得n₁=3$\sqrt{5}$，m₁=0（舍）
n₂=2$\sqrt{5}$，m₂=5，
∵点A的坐标为（0，4），点D（3$\sqrt{5}$，1），
∴DE=BD=3，
∴AB=3$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，E（2$\sqrt{5}$，-1）．
过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，
∴△AFG∽△ABD．
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BD}$，
即：$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{3}$，
∴FG=2．
∴EG=EF-FG=3．
∴点G的纵坐标为2．
∵y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10=a（x-2$\sqrt{5}$）²+（10-20a），
∴此抛物线y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10的顶点必在直线x=2$\sqrt{5}$上．
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上．
∴-1＜10-20a＜2，
∴$\frac{2}{5}＜a＜\frac{11}{20}$．
故选B．

点评 此题是二次函数的综合题，主要考查对折的性质，解本题的关键是要看出抛物线的对称轴是定值，本题的难点是应从哪里入手．