Question

14．如图，F是正方形ABCD的边BC上的一个点（F与B，C两点不重合），过点F作射线FP⊥AF，∠DCG的平分线交FP于M，求证：AF=FM．

Answer 1

分析 在AB上截取BH=BF，连接HF，则△BHF是等腰直角三角形，AH=FC，证出∠AHF=∠FCM，∠1=∠2，由ASA证明△AHF≌△FCM，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCG=45°，
∴∠FCM=90°+45°=135°．
在AB上截取BH=BF，连接HF，如图，则△BHF是等腰直角三角形，AH=CF，
∴∠BHF=∠BFH=45°，
∴∠AHF=135°，
∴∠1+∠HFA=45°，∠AHF=∠FCM，
∵FP⊥AF，
∴∠AFM=90°，
∴∠2+∠HFA=45°，
∴∠1=∠2．
在△AHF和△FCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AH=FC}\\{∠AHF=∠FCM}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△FCM（ASA），
∴AF=FM．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．