Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=5，点P，D分别是线段AB，AC上的两个动点，则PC+PD的最小值为8．

Answer 1

分析 首先作C关于AB的对称点E，作ED⊥AC于点D，交于AB于点P，则此时PC+PD有最小值，且PC+PD=DE，然后利用直角三角形的性质，求得CE的长，继而证得△CDE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：作C关于AB的对称点E，作ED⊥AC于点D，交于AB于点P，则此时PC+PD有最小值，且PC+PD=DE，
∵在Rt△ABC中，AC=10，BC=5，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴CE=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠E+∠ECD=∠A+∠ECD=90°，
∴∠A=∠E，
∵∠CDE=∠ACB=90°，
∴△CDE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}$，
即$\frac{DE}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴DE=8．
∴PC+PD的最小值为：8．
故答案为：8．

点评 此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确找到P，D的位置是解此题的关键．