Question

11．△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=α（0°＜α＜90°），点P是平面内一点，PB=PC，连接AP．
（1）如图1，点P在线段BC上，求出AP的范围；
（2）如图2，点P与点A在线段BC的异侧，∠BPC=90°，求出AP的范围；
（3）若$\frac{BP}{BC}$=k，直接写出AP的最大值和此时∠BPC的值（用含k或α的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AP到E，使得PE=PA．先证明△APC≌△EPB，在△ABE中，利用三边关系定理，求出AE的范围即可解决问题．
（2）如图2中，作∠APE=∠BPC，使得PE=PA，连接EC、AE．首先求出AE的取值范围，再根据△APE是等腰直角三角形，即可解决问题．
（3）AP的最大值为7k，此时∠BPC=180°-α．如图3中，作∠EPA=∠CPB，且PE=PA，连接AE，由△PBC∽△PAE，推出PA=k•AE，根据当A、C、E共线时，AE最长，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，延长AP到E，使得PE=PA．

在△APC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}\\{∠APC=∠EPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△EPB，
∴EB=AC=3，AE=2AP，
∵AB=4，BE=3，
∴1＜AE＜7，
∴$\frac{1}{2}$＜AP＜$\frac{7}{2}$．

（2）如图2中，作∠APE=∠BPC，使得PE=PA，连接EC、AE．

在△ABP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=PE}\\{∠APB=∠CPE}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ECP，
∴EC=AB=4，∵AC=3，
∴1＜AE＜7，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}AE}{2}$＜$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜AP＜$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

（3）AP的最大值为7k，此时∠BPC=180°-α．
理由：如图3中，作∠EPA=∠CPB，且PE=PA，连接AE，

∵PB=PC，PE=PA，∠APE=∠BPC，
∴∠PBC=∠PCB=∠PAE=∠PEA，
∴△PBC∽△PAE，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BC}{AE}$，
∴$\frac{PA}{PE}$=$\frac{PB}{BC}$=k，
∴PA=k•AE，
由（2）可知1＜AE＜7，当A、C、E共线时，AE=7，此时PA最长，PA=7k，
∴∠PBC=∠PAC，
∴A、B、P、C四点共圆，
∴∠BPC=180°-∠BAC=180°-α．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会灵活应用三角形三边关系定理，属于中考压轴题．