题目内容
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如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，D是AC上一点，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=AB，连接AF，BF，CF，G是BC上一点，连接FG，交AC于点H，已知∠ADB=36°，BF平分∠ABC．（1）试判断BD与AC之间的数量关系，并说明理由；
（2）若BF=CF，∠BGF=∠FDC，求∠BFG的度数；
（3）求证：FH是△ACF的高．
分析 （1）结论：BD=$\frac{1}{2}$AC．先证明DB=DC，再证明DB=DA即可．
（2）根据∠BFG=180°-∠FBG-∠BGF，求出∠FBG，∠BGF即可．
（3）根据∠CHG=180°-∠CGH-∠GCH，求出∠CGH即可解决问题．
解答 解：（1）结论：BD=$\frac{1}{2}$AC．
理由：∵∠ADB=∠DBC+∠DCB，∠ADB=36°，∠ACB=18°，
∴∠DBC=∠DCB=18°，
∴DB=DC，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBA=∠DAB=72°，
∴DA=DB，
∴DB=DA=DC，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC．
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°∴∠FDC=∠FGB=∠DEC+∠DCE=108°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBG=$\frac{1}{2}$×90°=45°
∴∠BFG=180°-∠FBG-∠FGB=180°-45°-108°=27°．
（3）∵∠CGH=180°-∠BGF=72°，
∴∠CHG=180°-∠CGH-∠GCH=180°-72°-18°=90°，
∴FG⊥AC，
∴FH是△ACF的高．
点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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