Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究
由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）关于直线l的对称点B′、C′，E′的位置，并写出它们的坐标：B′（3，5）、C′（5，-2），E′（-4，-1）；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）（不必证明）；
（3）运用与拓广：
已知两点D（1，-3）、B（5，3），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、B两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对称的性质作出对称点即可，然后写出坐标．
（2）观察（1）中结论得出结论即可．
（3）连接DB′交直线l于Q，此时DQ+BQ最小．求出直线DB′的解析式，解方程组即可求出点Q坐标．

解答 解：（1）点B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）关于直线l的对称点B′、C′，E′的位置，如图所示，

由图象可知B′（3，5），C′（5，-2），E′（-4，-1）．

（2）由（1）可知坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）．

（3）连接DB′交直线l于Q，此时DQ+BQ最小．
设直线DB′的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直线DB′的解析式为y=4x-7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标（$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{3}$）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．