Question

13．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：∠BAG=∠CBF；
（2）求证：AG=FG；
（3）若GF=2BG，CF=$\sqrt{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；
（3）在Rt△ABG中，分别求出BG、AG即可解决问题；

解答 （1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，


（2）证明：∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠BHC}\\{∠BAG=∠HBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG；

（3）解：在Rt△CHF中，∠CFB=45°，
∵CF=$\sqrt{2}$，
∴CH=FH=1，
由（2）可知BG=CH，AG=FG，
∴BG=1，∵GF=2BG，
∴FG=AG=2，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高．