Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上一点，设点的横坐标为．

①当点在第一象限时，过点作轴，交于点，过点作轴，垂足为，连接，当和相似时，求点的坐标；

②请直接写出使的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①点的坐标为或；②点的坐标为或．

【解析】

（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可；

②如图，过点B作∠ABC的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为（0，k），求出点M的坐标，得出直线BM的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点.

（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，

可得，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）①设，

由点和点可得的表达式：，

则，

，

轴，轴，

，

（Ⅰ）当时，，

则，

（Ⅱ）当时，，

则，

，

∴当与相似时，点的坐标为或；

②如图，过点B作∠ABC的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作∠ABP= ∠ABC，设点M的坐标为（0，k），

∵OB=3，OC=4，

∴BC=5，

∵BM平分∠ABC，

∴MO=MQ，

∴，

即，

解得，点M的坐标为（0，），

∴直线BM的解析式为，

联立，

解得或，

∴点P的坐标为，

由作图可知，M与点N关于x轴对称，

∴点N的坐标为（0，），

同理可得点的坐标为，

综上点P的坐标为或.