Question

19．已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该二次函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）直线y=4与二次函数的图象交于M、N两点，求M、N的长度．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可；
（3）把y=4代入抛物线解析式，求出对应自变量x的值，即可求出MN的长度．

解答 解：（1）证明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；    
（2）y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函数y=（x-m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以把函数y=x²-2mx+m²+3的图象向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．                                
（3）（x-m）²+3=4，x₁=m+1，x₂=m-1，
MN=x₁-x₂=（m+1）-（m-1）=2．

点评 本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．