Question

20．设M=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$，N=1-2+3-4+…+2015-2016，求$\frac{N}{（M+1）^{2}}$的值．

Answer 1

分析 先将M分母有理化，再抵消法可求M，再将N分成2个一组，求得N，最后代入计算即可求得$\frac{N}{（M+1）^{2}}$的值．

解答 解：M=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1，
N=1-2+3-4+…+2015-2016
=-1×1008
=-1008，
则$\frac{N}{（M+1）^{2}}$=$\frac{-1008}{2016}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 考查了分母有理化，关键是熟悉分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．难点是求得M、N的值．