Question

15．已知x=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$，y=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，求$\frac{x-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 先分母有理化求得x，y的值，再代入根据完全平方公式计算即可求解．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}$=3+2$\sqrt{2}$，
y=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）^{2}}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{x-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}+17-12\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{17}$．

点评 考查了分母有理化，关键是熟悉分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．难点是求得x，y的值．