如图.抛物线y=-1.25x2+4.25x+1与y轴交于A点.过点A的直线与抛物线交于另一点B.过点B作BC⊥x轴.垂足为点C(3.0)(1)求直线AB的函数关系式,(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动.过点P作PN⊥x轴.交直线AB于点M.交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒.MN的长度为s个单位.求s与t的函数关系式.并写出t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，抛物线y=-1.25x²+4.25x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

分析（1）把x=0代入y=-1.25x²+4.25x+1，求出y的值，得到A点坐标，把x=3代入y=-1.25x²+4.25x+1，求出y的值，得到B点坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）根据路程=速度×时间得出OP=1•t=t，那么P（t，0）（0≤t≤3），再求出M、N的坐标，利用s=MN=NP-MP即可求出s与t的函数关系式；
（3）由于BC∥MN，所以当BC=MN时，四边形BCMN为平行四边形，根据MN=BC列出方程-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，解方程求出t的值，得出t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，分t=1、t=2两种情况，计算MN与MC，比较大小，如果相等，则四边形BCMN是菱形；如果不相等，则四边形BCMN不是菱形．

解答解：（1）∵当x=0时，y=1，∴A（0，1）．
当x=3时，y=-$\frac{5}{4}$×3²+$\frac{17}{4}$×3+1=2.5，∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=2.5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1；

（2）∵动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，点P移动的时间为t秒，
∴OP=1•t=t，
∴P（t，0）（0≤t≤3），
∵过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，
∴M（t，$\frac{1}{2}$t+1），N（t，-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1），
∴s=MN=NP-MP=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1-（$\frac{1}{2}$t+1）=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t（0≤t≤3）；

（3）由题意，可知当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
此时，有-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
解得t₁=1，t₂=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=$\frac{3}{2}$，NP=4，故MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$，
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形；
②当t=2时，MP=2，NP=$\frac{9}{2}$，故MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$，
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．