Question

9．如图，已知二次函数y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于B（-2，0）、C两点，与y轴交于点A（0，-6），直线AC的函数解析式为y₂=mx+n
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）过线段OC上任意一点（不含端点）作y轴的平行线，交AC于点E与二次函数图象交于点F，求线段EF的最大值；
（3）在抛物线上是否存在一点P，△ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到二次函数的解析式；再利用配方法把一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先根据抛物线的对称性求出C点坐标，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，再设E（x，x-6），则F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），用含x的代数式表示EF，然后根据二次函数的性质即可求出EF的最大值；
（3）假设在抛物线上存在一点P，△ACP是以AC为底边的等腰三角形．先根据中点坐标公式求出AC中点Q的坐标，再根据等腰三角形三线合一的性质得出PQ⊥AC，由互相垂直的两直线斜率之积为-1得到直线PQ的斜率是-1，再求出直线PQ的解析式，将它与二次函数的解析式联立得到方程组，求出方程组的解即可．

解答 解：（1）∵二次函数y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象过点A（0，-6），B（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
∵y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4）-2-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴顶点坐标为（2，-8）；

（2）∵y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6的对称轴为直线x=2，
B（-2，0）与C关于直线x=2对称，
∴C（6，0）．
将A（0，-6），C（6，0）代入直线AC的函数解析式y₂=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{n=-6}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数解析式y₂=x-6．
设E（x，x-6），则F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），
∵0＜x＜6，
∴EF=（x-6）-（$\frac{1}{2}$x²-2x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴当x=3时，EF有最大值$\frac{9}{2}$；

（3）假设在抛物线上存在一点P，△ACP是以AC为底边的等腰三角形．
如图，设AC中点是Q．
∵A（0，-6），C（6，0），
∴Q（3，-3）．
∵PA=PC，AQ=CQ，
∴PQ⊥AC，
∴直线PQ的斜率是-1，
设直线PQ的解析式为y=-x+t，
把Q（3，-3）代入，得-3=-3+t，解得t=0，
∴直线PQ的解析式为y=-x．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{13}}\\{y=-1-\sqrt{13}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{13}}\\{y=-1+\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
故所求点P的坐标为P₁（1+$\sqrt{13}$，-1-$\sqrt{13}$），P₂（1-$\sqrt{13}$，-1+$\sqrt{13}$）．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，中点坐标公式，等腰三角形的性质，互相垂直的两直线斜率之积为-1，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．