Question

2．已知：如图，在等腰三角形ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC于点D．以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M． 
（1）求证：∠FEA=∠FCA；
（2）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得出∠1=∠2，直线AD垂直平分BC，求出FB=FC，根据等腰三角形的性质得出∠3=∠4，求出AB=AE，根据等腰三角形的性质得出∠3=∠5，即可得出答案；
（2）在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN，求出∠EFM=∠CAM，根据等边三角形的性质得出∠EFM=60°，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN=60°，EN=EF，求出∠5=∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA=NC，求出FC=2FD，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图1，

∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵AD⊥BC，
∴直线AD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC-∠1=∠FCB-∠2，
即∠3=∠4，
∵等边三角形ACE中，AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠3=∠5，
∴∠4=∠5，
即∠FEA=∠FCA；

（2）FE+FA=2FD，
证明：在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN，如图2，
∵∠FME=∠AMC，∠5=∠4，
∴180°-∠5-∠FME=180°-∠4-∠AMC，
∴∠EFM=∠CAM，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN-∠MEN=∠AEC-∠MEN，
即∠5=∠6，
在△EFA和∠ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EN}\\{∠5=∠6}\\{EA=EC}\end{array}\right.$
∴△EFA≌△ENC，
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=$\frac{1}{2}×$60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，难度偏大．