Question

10．【问题引入】
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．

【类比猜想】
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，则∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB则∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．（用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；
（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（3）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α；
（4）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$×220°=110°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-110°=70°；

（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠B-∠D）
=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D），
∵∠B+∠D=110°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=55°；

（3）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+180°）
=120°-$\frac{1}{3}$α；
（4）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+180°）
=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．
故答案为：120°-$\frac{1}{3}$α；$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．