Question

3．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，点0在BC上，以点O为圆心，OC为半径的⊙O刚好与AB相切，交OB于点D，若BD=1，tan∠AOC=2，则⊙O的面积是（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． $\frac{16}{9}$π

Answer 1

分析 设圆的半径为r，即OC=OE=OD=r，根据tan∠AOC=2表示出AC、AE，在RT△BOE中求出BE=$\sqrt{1+2r}$，在RT△ABC中，根据AC²+BC²=AB²列出关于r的方程求得r，进而可求得圆的面积．

解答 解：记⊙O与AB的切点为E，连接OE，则∠OEB=90°，

设⊙O的半径为r，则OC=OD=OE=r，
∵∠ACB=90°，tan∠AOC=2，
∴AC=OC•tan∠AOC=2r，
又∵AC与AB均与⊙O相切，
∴AE=AC=2r，
在RT△BOE中，∵BD=1，OD=OE=r，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（1+r）^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{1+2r}$，
在RT△ABC中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（2r）²+（1+2r）²=（2r+$\sqrt{1+2r}$）²，
解得：r=$\frac{3}{2}$或r=-$\frac{1}{2}$（舍），
则S_⊙O=π•（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$π，
故选：C．

点评 本题主要考查切线的性质及切线长定理、勾股定理等，熟练掌握切线的性质及定理表示出所需线段的长是解题的根本，灵活运用勾股定理求出半径是本题的关键．