Question

13．如图，△ABC是锐角三角形，sinC=$\frac{4}{5}$，则sinA的取值范围是（　　）

• A． 0$＜sinA＜\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}＜sinA＜1$
• C． $\frac{3}{5}＜sinA＜\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}＜sinA＜1$

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{4}{5}$，则可设AH=4x，AC=5x，利用勾股定理得到CH=3x，所以sin∠HAC=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．

解答 解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
设AH=4x，AC=5x，
所以CH=$\sqrt{（5x）^{2}-（4x）^{2}}$=3x，
所以sin∠HAC=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴$\frac{3}{5}$＜sin∠BAC＜1．
故选D．

点评 本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值；当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．