Question

观察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；…
（1）猜想并写出第n个算式：

 

；
（2）请说明你写出的算式的正确性：

 

；
（3）计算下列式子的值（写出过程）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）根据所给出的等式找出规律，即可得出第n个算式是

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；
（2）根据（1）得出的规律和分式的加减运算法则进行计算，即可得出答案；
（3）根据（1）得出的规律

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

，再把要求的式子进行整理，然后进行计算即可得出答案．

解答：解：（1）第n个算式：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；
（2）

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；
（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

点评：此题考查了分式的加减，在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．