Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC．将△EDC演这个C方向平移得到△E₁D₁C₁．

（1）当点D₁刚好落在斜边AB上如图1，求平移距离；
（2）设E₁D₁与边BC交于点N，C₁D₁与边AB交于点M，当MN∥AC时，求平移的距离．

Answer 1

考点：平移的性质

专题：

分析：（1）利用旋转的性质以及锐角三角函数关系求出AC，CE的长，进而求出DD₁的长；
（2）利用旋转的性质以及锐角三角函数关系求出AC，CE的长，进而四边形D₁MND是平行四边形，得出△BMN∽△BAC，即可求出平移的距离．

解答：解：（1）如图1，连接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
∴tan30°=

DD1

BD

=

DD1

BC-CD

=

DD1

3 -1

=

3

3

，
解得：D₁D=

3- 3

3

，
∴平移距离为：

3- 3

3

；

（2）如图2，连接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
当MN∥AC时，∵D₁D∥MN，CD∥C₁D₁，
∴四边形D₁MND是平行四边形，
∴MN=DD₁，
∴设DD₁=x，则DN=

3

3

x，
∴CN=1-

3

3

x，
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴

MN

AC

=

BN

BC

，
∴

x

1

=

3 -1+ 3 3 x

3

，
解得：x=

3- 3

2

，
∴当MN∥AC时，平移的距离为：

3- 3

2

．

点评：此题主要考查了平移的性质以及相似三角形的判定与性质和旋转的性质等知识，利用平移的性质得出对应线段关系是解题关键．