Question

11．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

Answer 1

分析 阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．

解答 解：S_阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S_△ABC-直径为AB的半圆的面积，
=$\frac{1}{2}$π$（\frac{AC}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$π$（\frac{BC}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$AC×BC-$\frac{1}{2}$π$（\frac{AB}{2}）^{2}$，
=$\frac{1}{8}$π（AC）²+$\frac{1}{8}$π（BC）²-$\frac{1}{8}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$AC×BC，
=$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²-AB²）+$\frac{1}{2}$AC×BC，
=$\frac{1}{2}$AC×BC，
所以阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

点评 此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．