Question

19．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的边BC为直径在正方形内作半圆，再经过A点作半圆的切线AE，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，求：
（1）△ADE的面积；
（2）求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积；
（2）连接OF，OA，OA与BF交于G，如图，根据正方形的性质得∠ABC=90°，利用切线的判定方法可得到AB为⊙O的切线，再根据切线长定理得到AB=AF，OA平分∠BAF，则根据等腰三角形的性质得到AG⊥BF，BG=FG，然后根据勾股定理得OA=2$\sqrt{5}$，再利用面积法计算出BG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，则BF=2BG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）∵AE与圆O切于点F，
∴AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）²+4²=（4+x）²，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S_△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm²；

（2）连接OF，OA，OA与BF交于G，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
而BC为⊙O的直径，
∴AB为⊙O的切线，
∵AF与半圆相切于点，
∴AB=AF，OA平分∠BAF，
∴AG⊥BF，
∴BG=FG，
在Rt△ABO中，∵OB=2，AB=4，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$BG•OA=$\frac{1}{2}$OB•AB，
∴BG=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BF=2BG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．注意构造直角三角形，利用勾股定理计算线段的长．