Question

3．直线MN切⊙O于点C，AB是⊙O的直径且∠CAB=53°，则∠BOC=106°，∠ACB=90°，∠ACM=37°，∠BCN=53°．

Answer 1

分析 根据题意可以得到∠OCN=∠OCM=90°，∠ACB=90°，OA=OC、OC=OB，从而可以得到∠BOC的度数，∠ACM、∠BCN的度数，本题得以解决．

解答 解：∵∠CAB=53°，
∴∠COB=2∠CAB=106°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OBC=90°-53°=37°，
∵OA=OC，OC=OB，直线MN切⊙O于点C，
∴∠BAC=∠OCA，∠OCB=∠OBC，∠OCM=∠OCN=90°，
∴∠ACM=∠OCM-∠OCA=90°-53°=37°，∠BCN=∠OCN-∠OCB=90°-37°=53°，
故答案为：106°，90°、37°，53°．

点评 本题考查切线的性质、圆周角与圆心角的关系，解题的关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的条件．