已知等边△ABC和Rt△DEF按如图1所示的位置放置.点B.D重合.且点E.B(D).C在同一条直线上．其中∠DEF=90°.∠EDF=30°.AB=DE=$6\sqrt{3}$.现将△DEF沿直线BC以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移.直至E点与C点重合时停止运动.设运动时间为t秒．(1)试求出在平移过程中.点F落在△ABC的边上时的t值,(2)试求出在平移过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图1所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠DEF=90°，∠EDF=30°，AB=DE=$6\sqrt{3}$，现将△DEF沿直线BC以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式；
（3）当D与C重合时（如图2），DF与AB交于G点，点H为直线DF上一动点，现将△BDH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，是否存在点H，使得△ACK为等腰三角形？若存在，连接AF，并求出△AFK的面积；若不存在，请说明理由．

分析（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动的距离，即可求得时间；
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
（3）首先求得当B，H，K在一条直线上时CK的长度，然后利用：△BHK的面积、△BCK的面积、△XKH的面积、△BCH的面积之间的关系，即可得到一个关于CK的长度的方程，解得CK的长度．

解答（1）当F在边AB上时，如图（1），

作AM⊥BC，则AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6$\sqrt{3}$=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{EF}{AM}$，即$\frac{BE}{3\sqrt{3}}$=$\frac{6}{9}$，解得：BE=2$\sqrt{3}$，则移动的距离是：6$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，则t=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8；
当F在AC上时，如图（2）

同理可得：EC=2$\sqrt{3}$，则移动的距离是：2×6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$，则t=$\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=10，
故t的值是：8或10；
（2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），

设AB与BE交于点N，
则BD=$\sqrt{3}$t，
则NB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，ND=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，则s=$\frac{1}{2}$NB×ND=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$t²；
当6＜t＜10时，如图（4），

则CD=$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$，
则在直角△THC中，TH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$TC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}$t-9，
则s=18-$\frac{1}{2}$CD×TH=18-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）（$\frac{3}{2}$t-9）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（t-6）²+18；
当10≤t＜12时，重合部分如图（5），

EC=12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
则直角△ECJ中，EJ=$\sqrt{3}$EC=$\sqrt{3}$（12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），
则s=$\frac{1}{2}$EC×EJ=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（12-t）²．
（3）如图（6）

当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC×tan30°=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=6，
设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=$\frac{1}{2}$x，
△CKH是边长是x的等边三角形，则面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
△BCH的面积是：$\frac{1}{2}$BC×HL=3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
△BCK的面积是：3$\sqrt{3}$x．
当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积-△CKH的面积-△BCH的面积，
即3$\sqrt{3}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²=4$\sqrt{3}$，方程无解．
当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积-△BCK的面积，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-3x$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
解得：x=8或-2（舍去），故x=8
∴CH=8．