Question

6．如图①，等边△ABC的两边上的点M，N满足BM=AN，BN交CM于点E
（1）求证：BM²=ME•MC；
（2）如图②，把△BCE沿着BC向下翻折到△BCF，延长CF和BF交A于P，交AC于K，若等边△ABC的边长是10，求BP•CK的值．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABN≌△BCM，再证明△BEM∽△CBM即可．
（2）只要证明△PCB∽△BCK得$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BC}{CK}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图①中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠CBM=60°，
在△ABN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBM}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠BME=∠CBM，
∴△BEM∽△CBM，
∴$\frac{BM}{ME}$=$\frac{MC}{BM}$，
即BM²=ME•MC．
（2）解：如图②中，∵△BCF是由△BCE翻折，
∴∠NBC=∠KBC，∠MCB=∠PCB，
∵∠ABN=∠BCM，
∴∠ABN=∠BCM=∠PCB，
∵∠ABN+∠NBC=60°，∠PCB+∠BPC=60°，
∴∠BPC=∠NBC=∠KBC，
∴△PCB∽△BCK，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BC}{CK}$，
∴PB•CK=BC²=100

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些判定方法和性质定理，是解决问题的关键，属于中考常考题型．