题目内容
【题目】如图，已知二次函数
c为常数
的图象经过点
，点
，顶点为点M，过点A作
轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交
一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与
相似，请直接写出所有点N的坐标
直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】
二次函数解析式为
，点M的坐标为
；
存在平行四边形，
；
，
，
，
．
【解析】
将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
根据平行四边形的判定对边平行且相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
由题意分析可得
，则若
与
相似，则要进行分类讨论，分成∽
或∽
两种，然后利用边的对应比值求出N点坐标的横坐标，再利用自变量与函数值的对应关系，可得答案．
把点
，点
代入二次函数
得，
解得
二次函数解析式为，
配方得
，
点M的坐标为；
由知，当
时，
，
解之，
或
、
令P点横坐标为m，
当PQ与BC边相交时，
，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AC边相交时，
由、可得直线AC解析式
，
，
，
令
，
，
，
此方程无解，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AB边相交时，
、
，
令
，
化简，得
，
解得
，
当
时，
，
点坐标为，
此时，存在平行四边形，；
连接MC，作
轴并延长交AC于点N，则点G坐标为
，
，
，
把
代入解得
，则点P坐标为
，
，
，
，
，
由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有∽，则有
，
，
，
，
，
，
若点N在y轴右侧，作
轴，
，
，
把
代入，解得
，
；
同理可得，若点N在y轴左侧，
把
代入，解得
；
若有∽，则有
，
，
若点N在y轴右侧，把代入，解得；
若点N在y轴左侧，把
代入，解得
；．
所有符合题意得点N坐标有4个，分别为，，，．
