Question

17．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
①要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC；
②要使四边形EFGH是矩形，四边形ABCD还应满足的一个条件是AD⊥BC．

Answer 1

分析 ①由已知条件得出GH是△ADC的中位线，EF是△ABD的中位线，GF是△CBD的中位线，由三角形中位线定理得出GH∥EF，GH=EF，再证出GE=EH，即可得出结论．
②由①得出四边形EFGH是平行四边形，由AD⊥BC，得出GH⊥GF，即可得出结论．

解答 解：①AD=BC；理由如下：
∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GH是△ADC的中位线，EF是△ABD的中位线，GF是△CBD的中位线，
∴GH∥AD，GH=$\frac{1}{2}$AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，EF∥AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，GF∥BC，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AD=BC，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：AD=BC．
②AD⊥BC，理由如下：由①得：GH∥AD，GH=$\frac{1}{2}$AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，EF∥AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，GF∥BC，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AD⊥BC，
∴GH⊥GF，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：AD⊥BC．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法以及矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系是解决问题的关键．