Question

10．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，以AB为边向外作等边△ABD，AE⊥BD，CD、AE交于点M，若DM=1，求BC的值．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形和等边三角形的性质证得△ADE是等腰直角三角形，求得DE的长，进而求得AB=AC=$\sqrt{2}$，然后根据勾股定理即可求得BC的值．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ADB=60°，AB=AD=BD，
∴∠CAD=150°，AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=（180°-150°）×$\frac{1}{2}$=15°，
∴∠MDE=60°-15°=45°，
∵在等边三角形ABD中，AE⊥BD，
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=AC=BD=2DE=$\sqrt{2}$，
∴在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=2．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形以及勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．