Question

1．已知，△ABC中，AC=BC．∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是CA上一点，F是CB上一点，且AE=CF，连接EF．
（1）试证明：△DEF是等腰直角三角形；
（2）过点D作DG⊥EF于G，连接CG并延长交AB于点H．
①试证明：CG=GD；
②若AE=5，CH=13，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰直角三角形的性质，得出△AED≌△CFD（SAS），进而得到DE=DF，∠ADE=∠CDF，再根据CD⊥AB，即可推导得出∠EDF=90°，进而得到△DEF是等腰直角三角形；
（2）①先根据△DEF是等腰直角三角形，DG⊥EF，运用三线合一得出G为EF的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CG=GD；
②先根据等角的余角相等，得出DG=GH，再根据直角三角形的性质，得出EF=CH=13，最后运用勾股定理，在Rt△CEF中，求得EC的长度．

解答 解：（1）如图1，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，即∠A=∠DCF．
∵在△AED与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）①如图2，∵△DEF是等腰直角三角形，DG⊥EF，
∴G为EF的中点，
∴Rt△DEF中，DG=$\frac{1}{2}$EF．
∵∠ECF=90°，G为EF的中点，
∴Rt△CEF中，GC=$\frac{1}{2}$EF．
∴CG=GD；

②由（1）可知，DG=CG，∠CDF=90°，
∴∠CDG=∠GCD，
又∵∠CDG+∠GDH=∠DCG+∠DHG=90°，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=$\frac{1}{2}$CH，
∵∠ECF=90°，G为EF中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=CH=13，
由（1）可知，△AED≌△CFD，
∴AE=CF=5，
∴Rt△CEF中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．