Question

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

• A． $\sqrt{12}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{8}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．

解答 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴AD⊥DE，
∵G为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，
∴DG=AG=FG=3，
∴∠GAD=∠GDA，
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠ACB，
设∠ACB=α，则∠ACD=2α，
∵∠GAD=∠GDA=α，
∴∠DGC=2α，即∠ACD=∠DGC，
∴DG=DC=3，
在Rt△DEC中，DC=3，EC=1，
根据勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{8}$，
故选C．

点评 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，平行线的性质，解此题的关键是证出DG=DC．