Question

15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=$\frac{9}{4}$，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r₁，r₂，那么$\frac{r_1}{r_2}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．首先证明AE=BE=BF=AG=$\frac{3}{2}$，设DF=DG=m，由AD=2DC，推出CD=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+m），由S_△ABD：S_△ADC=BD：DC=2：1，
可得$\frac{1}{2}（3+3+2m）•{r}_{1}$：$\frac{1}{2}$[$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}（\frac{3}{2}+m）$]•r₂=2：1，由此即可得出结论．

解答 解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．

∵DA=DB，DG=DF，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG=$\frac{3}{2}$，设DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴CD=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+m），
∵S_△ABD：S_△ADC=BD：DC=2：1，
∴$\frac{1}{2}（3+3+2m）•{r}_{1}$：$\frac{1}{2}$[$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}（\frac{3}{2}+m）$]•r₂=2：1，
∴（6+2m）•r₁：$\frac{3}{4}$（2+2m）•r₂═2：1，
∴r₁：r₂=3：2．
故选C．

点评 本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r（r为内切圆半径）等知识，解题的关键是灵活运用切线长定理，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．